네 타동사로 쓰이는게 맞아요.

lay는 `놓다`라는 뜻으로 이것을 수동형으로 써서,

the shoes laid on the track 이라고 쓸 수 있는 것입니다.

반면 lie는 `놓여 있다`라는 뜻의 자동사입니다.

그래서 the shoes lying on the track 이라고 쓸 수도 있습니다.

정리하면, lay-laid-laid는 타동사이고 lie-lay-lain은 자동사라는 차이점이 있는 것이지요.

lie-lay-lain으로 변하는 동사는 `눕다`라는 뜻으로는 쓸수 있지만,

`놓다`라는 뜻으로는 쓸 수 없습니다.

`놓다`라는 동사는 `~을 놓다`와 같이 목적어가 있어야 의사소통이 가능하기 때문입니다.

대신, `놓여있다`라는 뜻은 가능합니다.

건물 등에 위 뜻과 같이 쓸 수 있습니다.

lay는 말씀하신대로 타동사로 쓰는게 맞습니다.

참고로 주어진 두 문장 모두 shoes와 분사 사이에 주격관계대명사+be동사가 생략되었다고 보시면 됩니다.

The shoes (which were) laid on the track ~ .

The shoes (which were) lying on the track ~ .

laid가 쓰인 문장은 능동태 문장의 목적어가 수동태 문장의 주어로 이동했고,

능동태 문장의 주어는 일반적이거나 누군지 모르기 때문에 생략된 상태입니다.

lying이 쓰인 문장은 동사 lie가 목적어를 취하지 않으니 단순히 당시 상태를 묘사한 것이구요.