안녕하세요 답변드립니다.
1. 용언 뒤에 -ㅁ과 -기가 붙으면 접사 아니면 어미입니다.
서술성에 유무에 따라 접사와 어미를 구별할 때는 일반적으로 '~다'를 대입하여 구별하는 방법이 있습니다.
 
하지만  100% 맞는 부분은 아닙니다.
물론 이런 방법은 문제 풀 때 많은 도움을 주는 것은 사실입니다
그리고 '~다'를 대입 할 때에도 '내용이 맞지 않아도' 서술성이 없지만, '맞다 하더라도 내용과 다른 것'은 서술성이 안되는 것으로 해석합니다.
 
예를 들면,
'그는 죽다'는 말이 되지만, 전체 문장인 '그가 죽음을 각오하고 일에 매달린다"에서는 실제 '그가 죽은 것'이 아니기 때문에 의미적으로 다르게 사용되었습니다. 이럴 때는 '맞다 하더라도 내용과 다른 것'에 해당됩니다.
'나라를 위해 젊다'라는 문장은 아예 의미가 맞지 않는 문장입니다.
 
문제는 '그가 수줍다'입니다. 언뜻 보면 의미가 맞습니다.
이때 '수줍음'은 명사 'shyness'의 의미입니다. '삶, 죽음'처럼 그냥 하나의 명사로 분석해야 합니다.
'수줍다'는 '부끄러워하는 모습'입니다. 그래서 '그는 수줍다'는 '모습(형용사)'의 의미와 맞지 않습니다.
'그는 수줍움을 탄다, 그는 수줍어 한다'처럼 '탄다, 한다'라는 동사를 통해 행위가 있어야 더 자연스러운 문장입니다.
아주 미세하고 어려운 문장입니다^^:;(따로 기억해야 하는 문장입니다)
하지만 '태산이 높다'는 의미적으로 잘 맞고, 문장전체를 보더라도 '실제로 태산이 높다'는 의미로 사용되고 있으니 서술성이 있는 문장입니다. 그래서 3번이 정답입니다^^
 
2. 부사는 일반적으로 용언을 수식하는 품사입니다.
질문하신 “보다 나은 내일을 위해 노력해라.”에서 ‘보다’는 형용사 ‘나은(낫다)’을 수식하므로 부사입니다.^^

감사합니다.