안녕하세요 답변드립니다.
우선 ‘다’의 사전적 의미를 정리하면 다음과 같습니다.
 1. 부사
① 남거나 빠진 것이 없이 모두.
예) 올 사람은 다 왔다.
② 행동이나 상태의 정도가 한도(限度)에 이르렀음을 나타내는 말.
예) 신이 다 닳았다.
③ 일이 뜻밖의 지경(地境)에 미침을 나타내는 말. 가벼운 놀람, 감탄, 비꼼 따위의 뜻을 나타낸다.
예) 그런 일이 다 있었어?
④ 실현할 수 없게 된 앞일을 이미 이루어진 것처럼 반어적으로 나타내는 말.
예) 숙제를 하자면 잠은 다 잤다.
 
2. 명사
① 남거나 빠짐없는 모든 것.
예) 내가 네게 줄 수 있는 것은 이것이 다이다.
② 더할 나위 없는 최상의 것.
예) 인생에서 돈이 다가 아니다.
 
 위의 예문들을 보시면 공통점이 있습니다. 부사의 예들은 모두 뒤에 조사없이 용언을 수식하고, 명사인 경우는 모두 조사가 붙었습니다. 즉 조사가 붙으면 명사이고, 조사없이 용언을 수식하면 부사입니다.
그래서 “너와 나 둘 다 키가 크다”에서 ‘다’는 ‘크다’를 수식하는 부사입니다^^

감사합니다.